Les notes et leurs fréquences

À une époque où l'accord (accordage) n'était pas encore très théorisé, le touche-à-tout et mathématicien Pythagore (bon en fait on retrouve des traces de ce système beaucoup plus tôt en Mésopotamie antique mais c'est pas grave, c'est lui qui a le copyright 😅) a choisi de déterminer les 3 intervalles justes (quarte, quinte, octave) grâce à des opérations mathématiques "simples".

La fréquence de l'octave juste d'une note est obtenue en multipliant sa fréquence par deux. (toujours valable de nos jours)
La fréquence de la quinte juste d'une note est obtenue en multipliant sa fréquence par 3/2. (maintenant obsolète)
La fréquence de la quarte juste d'une note est obtenue en obtenant une quinte descendante (en multipliant sa fréquence par 2/3) puis en la multipliant par deux pour obtenir son octave soit (f x 2/3) x 2 soit en mulipliant sa fréquence par 4/3 . (maintenant obsolète)

Ce système est appelé Echelle Pythagoricienne et s'imposa progressivement comme une norme utilisée jusqu'au début du XVIe siècle. (quelques années après la fin du Moyen Âge donc)

La logique est simple, la quinte juste étant un intervalle pur et le cycle des quintes justes permettant d'obtenir toutes les notes de la gamme chromatique, nous pouvons dérouler ce cycle des quintes justes ascendantes pour connaitre les fréquences des notes.
SPOILER: C'est pas terrible.

Donc en partant (arbitrairement) d'un A 440Hz et en le multipliant par 3/2 on obtient la fréquence de sa quinte juste et ainsi de suite, ou plus mathématiquement fréquence de la tonique x (3/2), fréquence de la tonique x (3/2)², fréquence de la tonique x (3/2)³... C'est parti :
A 440Hz (tonique)
E 660Hz (quinte juste)
B 495Hz (seconde majeure )(B 990Hz mais on baisse d'une octave en divisant le fréquence par deux pour rester sous 880Hz et obtenir une gamme sur une octave)
F# 742.5Hz (sixte majeure)
C# 556.875Hz (tierce majeure)(C# 1113.75Hz mais on baisse d'une octave en divisant le fréquence par deux pour rester sous 880Hz et obtenir une gamme sur une octave)
G# 835.3125Hz (septième majeure ou sensible)
D# 626.484375Hz (quarte augmentée)(D# 1252.96875Hz mais on baisse d'une octave en divisant le fréquence par deux pour rester sous 880Hz et obtenir une gamme sur une octave)
A# 469.86328125Hz (unisson augmenté / seconde mineure)(A# 939.7265625Hz mais on baisse d'une octave en divisant le fréquence par deux pour rester sous 880Hz et obtenir une gamme sur une octave)
F 704.794921875Hz (sixte mineure)(oui techniquement c'est un E# mais évitons de tourner dans le cycle des quintes en ajoutant des dièses pour l'éternité)
C 528.596191405Hz (tierce mineure)(C 1057.19238281Hz mais on baisse d'une octave en divisant le fréquence par deux pour rester sous 880Hz et obtenir une gamme sur une octave)
G 792.894287108Hz (septième mineure)
D 594.67071533Hz (quarte juste)(D 1189.34143066Hz mais on baisse d'une octave en divisant le fréquence par deux pour rester sous 880Hz et obtenir une gamme sur une octave)
A 892.006072995Hz (octave) et là stupeur, pour l'octave on ne retombe pas sur le double de 440Hz c'est à dire 880Hz...
On peut alors trafiquer cette dernière quinte juste pour rendre les octaves plus justes en forcant l'octave comme fréquence doublée exacte de la tonique, on obtient alors une dernière quinte plus petite (et donc fausse) appelée quinte du loup. 🐺 La différence entre la quinte juste et la quinte du loup s'appelle le comma. (oui c'est de là dont il est originaire)
Mais pire que ça, ce système ne permet pas de diviser une gamme ou un mode en deux tétracordes homogènes et harmonieux puisque la quarte (ici le D) qui est censée être un intervalle pur est particulièrement faussée puisque loin dans le calcul. 😱 En fait les intervalles sont de plus en plus faussés à partie de la moitié du calcul. On se retrouve avec une sixte mineure, une tierce mineure et une quarte juste particulièrement faussés alors que ces intervalles sont beaucoup utilisés dans les mélodies.
La quinte du loup pose problème pour la transposition et la modulation car il faudrait la déplacer pour chaque nouvelle tonalité, c'est pourquoi cette méthode de calcul est très difficilement utilisable comme échelle d'accord (dans le sens accordage).

Toujours basée sur la pureté de l'intervalle de quinte juste, la logique ici est d'utiliser à la fois la quinte ascendante mais aussi la quinte descendante (qui est l'octave inférieure de la quarte) ce qui permet d'obtenir la quarte juste plus tôt dans le calcul et donc moins faussée, la fausseté due à la multiplication des calculs va être transférée à des intervalles plus dissonants qui étaient moins utilisés à l'époque.
On trouve des traces de cette méthode chez les sumériens donc bien longtemps avant Pythagore.

Nous allons de nouveau partir d'un A 440Hz pour que la comparaison soit plus facile, cette fois nous allons calculer 6 quintes justes ascendantes toujours en multipliant la fréquence précédente par 3/2 ou plus mathématiquement fréquence de la tonique x (3/2), fréquence de la tonique x (3/2)², fréquence de la tonique x (3/2)³... Et 5 quintes justes descendantes (qui changées d'octaves peuvent être considérées comme des quartes ascendantes) en multipliant la fréquence précédente par 2/3 ou plus mathématiquement fréquence de la tonique x (2/3), fréquence de la tonique x (2/3)², fréquence de la tonique x (2/3)³.... Je vais afficher les résultats par ordre de justesse vers fausseté pour rendre la comparaison avec l'échelle précédente plus évidente :
A 440Hz (tonique)
E 660Hz (quinte juste)
D 586.666666667Hz (quarte juste)
B 495Hz (seconde majeure )(B 990Hz mais on baisse d'une octave en divisant le fréquence par deux pour rester sous 880Hz et obtenir une gamme sur une octave)
G 782.222222223Hz (septième mineure)
F# 742.5Hz (sixte majeure)
C 521.481481482Hz (tierce mineure)(C 1042.96296296Hz mais on baisse d'une octave en divisant le fréquence par deux pour rester sous 880Hz et obtenir une gamme sur une octave)
C# 556.875Hz (tierce majeure)(C# 1113.75Hz mais on baisse d'une octave en divisant le fréquence par deux pour rester sous 880Hz et obtenir une gamme sur une octave)
F 695.308641973Hz (sixte mineure)
G# 835.3125Hz (septième majeure ou sensible)
Bb 463.539094649Hz (seconde mineure)(Bb 927.078189297Hz mais on baisse d'une octave en divisant le fréquence par deux pour rester sous 880Hz et obtenir une gamme sur une octave)
D# 626.484375Hz (quarte augmentée)(D# 1252.96875Hz mais on baisse d'une octave en divisant le fréquence par deux pour rester sous 880Hz et obtenir une gamme sur une octave)

On remarque beaucoup de choses intéressantes:
La quarte juste et la quinte juste sont les premiers intervalles à sortir du calcul et donc les moins faussés.
Au milieu du calcul, la fausseté des tierces majeures un peu trop hautes et des tierces mineures un peu trop basses va contribuer à freiner l'utilisation de l'intervalle de tierce joué en simultané, qui ne deviendra une consonnance qu'au courant du XVIe siècle soit après la fin de l'utilisation de cette échelle Pythagoricienne.
La fameuse dernière quinte de la première méthode de calcul retombe ici directement sur le double de la fréquence de la tonique soit un octave parfait, il n'y a donc pas (besoin) de quinte du loup avec ce deuxième mode de calcul.
Les deux tétracordes composant la gamme majeure auront des intervalles parfaitement identiques en taille.
Le ton supérieur est uniformément égal à fréquence x (9/8) et le demi-ton supérieur est uniformément égal à fréquence x (256/243) mais leur valeur dans cette méthode est uniquement calculée dans le but d'avoir deux tétracordes homogènes et de retomber pile sur la fréquence exacte de l'octave dans le cadre d'une gamme à 7 notes comportant 5 tons et 2 1/2 tons (les modes et gammes du système majeur par exemple). La gamme chromatique, les modes et gammes du système mineur harmonique entre autres, vont faire "bugger" / foirer cette méthode.
Du fait de ces ajustements, cette échelle n'est efficace que diatoniquement et la transposition et la modulation vont donc poser problème.
Si on continue le calcul au lieu de se contenter des 6 quintes justes ascendantes et des 5 quintes justes descendantes on obtient des notes enharmoniques avec des fréquences légèrement differentes, par exemple:
D# 626.484375Hz
Eb 618.052126199Hz
C'est de là que vient cette légende qu'entre deux notes enharmoniques il y aurait un comma d'équart, déjà de une, c'est faux pour notre échelle de notes tempérée moderne mais c'est aussi faux pour cette deuxième méthode de calcul de l'échelle Pythagoricienne car utiliser des quintes suplémentaires enharmoniques dans le calcul fausserait l'ajustement des valeurs (fixes) du ton et du demi ton qui permet de retomber pile sur la fréquence de l'octave juste.
Au XVe siècle ces fréquences enharmoniques légèrement différentes ont toutefois été utilisées par des théoriciens pour améliorer la justesse des tierces mais sans grand succès parmi les compositeurs.

Conscient du potentiel de la tierce et soucieux de créer une échelle contenant des tierces "pures" (et donc plus facilement utilisables harmoniquement), Zarlino s'inspire de Ptolémée (100 - 168) et propose une construction de son échelle par division successives des intervalles, il part du calcul Pythagoricien de la quarte (f x 4/3), de la quinte (f x 3/2) et de l'octave (f x 2), puis divise la quinte en une tierce majeure (f x 5/4) et une tierce mineure (f x 6/5) et ce à partir des 3 triades majeures du système majeur pour obtenir les 7 fréquences des notes d'une gamme majeure.
Les demi-tons intermédiaires formant la gamme chromatique sont ensuite déterminés en créant des tierces majeures pures ascendantes (f x 5/4) ou descendantes à partir des fréquences déja trouvées.
Comme pour l'échelle Pythagoricienne, il faut bien comprendre que c'est la gamme majeure qui est l'échelle et qui est donc au centre des calculs et non la gamme chromatique comme avec notre échelle tempérée actuelle.

Nous allons comme précédemment partir d'un A 440Hz pour que la comparaison soit plus facile, c'est parti :
A 440Hz (tonique)
E 660Hz (quinte juste) (f x 3/2)
D 586.666666667Hz (quarte juste) (f x 4/3)
Nous obtenons la tierce majeure de la triade majeure du Ier degré :
C# 550Hz (tierce majeure) (f x 5/4)
Nous obtenons la tierce majeure de la triade majeure du IVe degré :
F# 733.333333334Hz (tierce majeure de la quarte, donc sixte majeure) (fD x 5/4 soit f x 5/3)
Nous obtenons la tierce majeure de la triade majeure du Ve degré :
G# 825Hz (tierce majeure de la quinte, donc septième majeure ou sensible) (fE x 5/4 soit f x 15/8)
Il nous manque juste la quinte du Ve degré pour former une gamme majeure :
B 495Hz (quinte de la quinte, donc seconde majeure une fois 990Hz ramenée à l'octave inférieure) (fE x 3/2 soit f x 9/8)

On obtient le reste des notes chromatiques :
A 352Hz (tierce majeure descendante donc sixte mineure) (f x 4/5)
C 528Hz (tierce majeure descendante de la quinte donc tierce mineure) (fE x 4/5)
Bb 469.3333Hz (tierce majeure descendante de la quarte donc seconde mineure) (fD x 4/5)
D# 618.75Hz (tierce majeure ascendante de la seconde donc quarte augmentée) (fB x 5/4)
G 792Hz (tierce majeure descendante de la seconde donc septième mineure) (fB x 4/5)

On remarque également beaucoup de choses intéressantes :
Les tierces jouées en simultané ont effectivement une meilleure sonorité et permettent la composition en accords de 3 sons qui va devenir la base de la musique moderne.
Les tons et les demi-tons d'une gamme chromatique ne sont pas égaux selon leur position dans l'échelle ce qui donne des gammes avec certains intervalles légérement plus grands ou plus petits en cas de modulation au cours d'un morceau, la modulation et la transposition vont donc ici aussi poser problème. Certains puristes revendiquent toutefois l'intérêt de cette "couleur" apportée lors de modulations.
Ici aussi nous allons avoir des différences entre les notes enharmoniques chromatiques tout simplement car l'une d'entre elles va demander plus de calculs, par exemple:
Le Bb 469.3333Hz est obtenu en calculant la quarte puis sa tierce descendante alors que
le A# 458.3333Hz est obtenu en calculant la quarte puis sa tierce ascendante puis sa tierce ascendante.
Ce délire de vouloir faire des modulations/transpositions avec une échelle inspirée de celles de l'antiquité qui fonctionne très bien pour un instrument diatonique réglé pour jouer un seul mode mais se fausse quand on module ou transpose va donner lieu à du bricolage de rattrapage de justesse comme les claviers à feintes brisées, des règles de théorie stipulant que dans tel cas la note doit être légèrement plus haute ou basse, des "ajustements" pour pouvoir faire des cadences parfaites en mineur, etc.

L'échelle tempérée arrive à la fin du XVIIe siècle et commence à être massivement utilisée durant le XVIIIe siècle, il s'agit d'une echelle basée sur la gamme chromatique (et non sur la gamme majeure / mode ionien comme les précédentes) et qui divise l'octave en 12 demi-tons égaux ce qui va grandement faciliter l'utilisation de la modulation et la transposition.
Le concept d'échelle de 12 demi-tons égaux provient de Simon Stevin (1548-1620), un mathématicien flammand.

Depuis l'antiquité, la musique est principalement modale, au moyen-âge, la technique du contrepoint (modal) apparait et fait office d'harmonie plus complexe, on constate aussi l'apparition de l'élévation de la septième (utilisation occasionnelle d'une sensible) dans la musique modale. Même si on trouve des traces d'accords de 3 sons au XIVe siècle, l'harmonie tonale (à base d'accords de 3 sons comportant des tierces et de modulations) fait son apparition au XVIe siècle et devient très prisée.
Beaucoup de compositeurs de cette époque font des mélanges modal / tonal dans leur compositions et la technique du contrepoint s'adapte également à ces mélanges de tonal et de modal, on retrouve des renversements d'accords dans une méthode d'harmonie datant de 1612 et la part de musique modale dans les compositions disparaît au cours du XVIIe siècle avec le développement du Baroque (le modal fera son retour à la fin du XIXe siècle).

La musique tonale implique des cadences d'accords, des modulations et des transpositions posant problème avec les échelles dites de Pythagore et de Zarlino et beaucoup de recherches sont faites au cours du XVIIe siècle pour contourner ces problèmes. L'échelle tempérée est donc très vite adoptée (et ce même si beaucoup de ses intervalles ne sont pas "purs" d'un point de vue mathématique) car elle évite ces complications.

Nous allons comme précédemment partir d'un A 440Hz pour que la comparaison soit plus facile, c'est parti pour la gamme tempérée :
A 440Hz (tonique)
A# 466.163761518Hz (seconde mineure) (f x 2^(1/12))
B 493.883301256Hz (seconde majeure) (f x 2^(1/6))
C 523.251130601Hz (tierce mineure) (f x 2^(1/4))
C# 554.365261954Hz (tierce majeure) (f x 2^(1/3))
D 587.329535835Hz (quarte juste) (f x 2^(1/2.4))
D# 622.253967444Hz (quarte augmentée) (f x 2^(1/2))
E 659.255113826Hz (quinte juste) ((f / 2^(1/2.4))x2)
F 698.456462866Hz (sixte mineure) ((f / 2^(1/3))x2)
F# 739.988845423Hz (sixte majeure) ((f / 2^(1/4))x2)
G 783.990871963Hz (septième mineure) ((f / 2^(1/6))x2)
G# 830.60939516Hz (septième majeure) ((f / 2^(1/12))x2)
A 880Hz (octave) (fx2)

Le diapason est la convention pour la hauteur d'un la 3 ou A4 ( à 20°C), et qui permet de calculer les fréquences des autres notes ou tout simplement de s'accorder car il correspond à la fréquence de la 2e corde à vide d'un violon. Actuellement il est à 440Hz depuis la conférence internationale de Londres de 1955.

En vérité la plupart des orchestres symphoniques utilisent un diapason de 442Hz, d'autres peuvent monter jusqu'a une fréquence de diapason de 450Hz.

Par le passé le diapason a beaucoup varié :
Le 415Hz est considéré comme le diapason Baroque allemand (utilisé par les puristes du style), il correspond en fait à la fréquence d'un G# en 440Hz (415.304Hz) et donc équivaut plus ou moins au diapason 440Hz baissé d'un demi-ton, il en va de même pour le diapason de 466Hz utilisé pour la musique de la renaissance qui correspond au diapason 440Hz haussé d'1/2 ton, du diapason de 392Hz utilisé pour le Baroque français qui correspond au diapason 440Hz baissé d'1 ton, le diapason pour le Baroque vénitien était à l'époque quant à lui sur la fréquence actuelle de 440Hz.
Il existait également le diapason d'église à 465Hz.

À noter que le diapason (instrument qui donne le la) a été inventé en 1711 et était à la base accordé sur 423.5 Hz, avant ça on utilisait des flûtes d'accord en bois dont la fréquence pouvait légèrement varier en fonction de la température et de l'hygrométrie ambiante.

Avant la normalisation de sa fréquence, le diapason pouvait varier selon les villes d'un même pays et les époques, par exemple pour Paris :
404Hz en 1680
405.3Hz en 1704
410Hz en 1774
423Hz en 1795
420Hz en 1807
430Hz en 1829
435Hz en 1859 ( à 15°C), le 16 février 1859 une loi oblige les institutions musicales françaises à utiliser ce diapason et stoppe pendant quelques décennies la tendance à monter la fréquence (tendance dangereuse pour la santé des chanteurs), ce diapason est aussi celui imposé à d'autres pays parmi d'autres normes lors du traité de Versailles le 28 juin 1919.
En Angleterre, un chipotage de la Philharmonic Society basé sur le fait que 435Hz à 15°C correspondrait à 439Hz à 20°C déplace une dernière fois la norme qui finalement se fixe à 440Hz.


Plus tôt, les compositeurs avaient eux même des préférences :
423Hz pour Georg Friedrich Haendel (1685 - 1759)
422Hz pour Wolfgang Amadeus Mozart (1756 - 1791)
455.4Hz pour Ludwig van Beethoven (1770 - 1827)
432Hz pour Giuseppe Verdi (1813 - 1901), Il reussit à l'imposer à partir de 1884 pour toute l'Italie (jusque 1919 donc).

L'argumentaire de Giuseppe Verdi en 1881 pour la normalisation du diapason à 432Hz était principalement basé sur les problèmes de santé des chanteurs dûs à des notes de plus en plus hautes à cause de cette lente et irresistible montée de la fréquence du diapason, mais aussi contre la fausse idée qu'augmenter la fréquence permettait aux instruments à cordes ou à vent une plus grande résonnance.

L'argumentaire actuel repose sur les soit-disant pouvoirs guérisseurs de la fréquence 432Hz, fréquence de resonnance de la terre, de l'univers et un tas d'autres arguments du même genre en ignorant que le diapason est juste une indication pour la hauteur d'un A4 fixant donc la hauteur des autres notes et que :
- Une pièce peut être sous diapason 432Hz et ne comporter aucun A4 (donc aucune fréquence 432Hz émise)
- La musique est principalement faite d'accords et donc de notes jouées simultanément dont les fréquences vont s'entrechoquer, se mélanger.
- Même une seule note émet plusieurs fréquences de part ses harmoniques.
Donc la fréquence 432Hz peut être magique, pourquoi pas, 😂 mais alors dans ce cas il faudrait juste écouter un tuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu à 432Hz au lieu d'écouter de la musique pour que ça fonctionne mieux non ?

Chaque note n'émet pas que sa fréquence fondamentale, elle émet aussi une suite d'harmoniques et c'est le dosage de volume entre ces harmoniques qui définit la texture, le timbre du son.
(schéma à ajouter)